Понятие системы координат и начало координат. Рассмотрение прямоугольной системы координат, определение координат точек, особые случаи расположения точек и способы нахождения точки по ее координатам.
Cодержание
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- Первая координатная четверть (I) — положительные значения по оси абсцисс и оси ординат;
- Вторая координатная четверть (II) — отрицательные значения по оси абсцисс и положительные значения по оси ординат;
- Третья координатная четверть (III) — отрицательные значения по обеим осям;
- Четвертая координатная четверть (IV) — положительные значения по оси абсцисс и отрицательные значения по оси ординат.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
- Точка находится на оси абсцисс или оси ординат;
- Точка находится на пересечении осей абсцисс и ординат (начало координат);
- Точка находится в одной из координатных четвертей;
- Точка находится на одной из осей координат.
См. также
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить координаты точки, если известны её расстояния до осей абсцисс и ординат? Для этого нужно провести перпендикуляры от точки на оси абсцисс и ординат и посчитать длины этих перпендикуляров. Полученные значения будут являться координатами точки.
Способ второй. Как определить координаты точки, если известны угол и расстояние до начала координат? Для этого нужно использовать полярные координаты, где угол указывает направление, а расстояние — удаленность от начала координат.
Начало координат в различных системах координат
Декартова система координат
В декартовой системе координат, начало координат — это точка, в которой пересекаются все оси координат. Это означает, что все координаты этой точки равны нулю. Например, на плоскости она имеет координаты (0,0), а в трёхмерном пространстве — (0,0,0).
Начало координат делит каждую из осей на два луча — положительную полуось и отрицательную полуось.
В частности, начало координат можно ввести на числовой оси. В этом смысле можно говорить о начале координат для разных экстенсивных величин (времени, температуры и пр.).
Полярные системы координат
В полярной (на плоскости) и цилиндрической и сферической системах координат (в пространстве), начало координат имеет особое название — «полюс». Полюс является точкой сингулярности таких систем координат, поскольку в такой точке одна или несколько координат не определены. Обычно такой координатой является угол (например, в полярной системе координат, в точке О угол может принимать любое значение — положение точки, определяемой координатами (r, ϕ) = (0, α), не зависит от выбора α), в то время как радиус (или какой-то другой аналог расстояния до полюса) обычно равняется нулю.
Симметрия относительно начала координат
Если график функции симметричен относительно начала координат (то есть выглядит так же, если его повернуть на 180° относительно этой точки), то такая функция называется нечётной.
См. также
Понятие прохождения точки через начало координат
Когда точка движется по координатной плоскости и проходит через начало координат, ее положительные координаты меняют знак на отрицательный, а отрицательные координаты меняют знак на положительный. Например, точка (3, 4), проходя через начало координат, станет точкой (-3, -4).
Прохождение точки через начало координат важно при решении задач, связанных с графиками функций и геометрическими построениями. Это позволяет определить симметричные относительно начала координат фигуры и использовать эту информацию для решения задач.
Описание прохождения точки через начало координат
Когда точка движется по координатной плоскости и проходит через начало координат (точку с координатами (0, 0)), происходит особый случай. В этом случае, координаты точки меняют свои знаки.
Рассмотрим примеры:
- Если точка имеет изначально положительные координаты (x, y), то после прохождения через начало они изменятся на (-x, -y). Например, точка с координатами (3, 4) после прохождения через начало координат станет точкой (-3, -4).
- Если точка имеет изначально отрицательные координаты (-x, -y), то после прохождения через начало они изменятся на (x, y). Например, точка с координатами (-2, -5) после прохождения через начало координат станет точкой (2, 5).
Прохождение точки через начало координат может быть важным фактором при анализе графиков функций, определении симметрии фигур, а также решении различных задач геометрии и физики.
Что нам скажет Википедия?
Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве — особая точка, обычно обозначаемая буквой О, которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.
В декартовой системе координат, начало координат — это точка, в которой пересекаются все оси координат. Это означает, что все координаты этой точки равны нулю. Например, на плоскости она имеет координаты (0,0), а в трёхмерном пространстве — (0,0,0).
Начало координат делит каждую из осей на два луча — положительную полуось и отрицательную полуось.
В полярной (на плоскости) и цилиндрической и сферической системах координат (в пространстве), начало координат имеет особое название — «полюс». Полюс является точкой сингулярности таких систем координат, поскольку в такой точке одна или несколько координат не определены. Обычно такой координатой является угол (например, в полярной системе координат, в точке О угол может принимать любое значение — положение точки, определяемой координатами (r, ϕ) = (0, α), не зависит от выбора α), в то время как радиус (или какой-то другой аналог расстояния до полюса) обычно равняется нулю.
Если график функции симметричен относительно начала координат (то есть выглядит так же, если его повернуть на 180° относительно этой точки), то такая функция называется нечётной.
