Узнайте, как вычислить корень из числа 5, его округленное значение, непрерывную дробь, Вавилонский метод, золотое сечение и другие интересные факты. Расширьте свои знания в области математики и алгебры.
Cодержание
Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.
Округленное значение
Округлённое значение корня из 5 равно 2.236 и считается правильным с точностью до 0,01%. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.
Выражение в виде непрерывной дроби
Корень из 5 может быть выражен в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...].
Бесконечный вложенный радикал
Корень из 5 также может быть представлен через бесконечный вложенный радикал:
Вавилонский метод
Для вычисления корня из 5 с помощью Вавилонского метода, начинают с предположительного значения r0 = 2, а затем используют следующую формулу:
Золотое сечение
Корень из 5 связан с понятием золотого сечения Φ, которое является средним арифметическим 1 и корня из 5. Алгебраическое выражение для Φ:
Числа Фибоначчи также могут быть выражены через корень из 5.
Алгебра
Корень из 5 присутствует в алгебре, особенно в кольце Z[-5], которое содержит числа вида a + b√(-5), где a и b - целые числа, а √(-5) = i√5 - мнимое число. Кольцо Z[-5] является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом. Также, корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы, согласно теореме Кронекера-Вебера.
Тождества Рамануджана
Корень из 5 встречается во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями. Например, в непрерывных дробях Роджерса-Рамануджана.
Доказательство иррациональности
Можно доказать, что корень из 5 является иррациональным числом. Предположим, что √5 можно представить в виде несократимой дроби n/m, где m - целое число, а n - натуральное число. Тогда n^2 делится на 5, что означает, что n также делится на 5. Следовательно, n^2 делится на 25, а значит, m и m^2 тоже делятся на 5. Это противоречит изначальному предположению о несократимости дроби. Таким образом, √5 - иррациональное число.
Изучение корня из числа 5 позволяет расширить наши знания в области математики и алгебры. Это интересное и важное понятие, которое находит применение в различных математических и научных задачах.
Ссылки:
[1] - источник
[2] - источник
[3] - источник
[4] - источник
Что нам скажет Википедия?
Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.
Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.
Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:
Через бесконечный вложенный радикал:
√5 = √(20 + √(20 + √(20 + ...)))
Вавилонский метод
Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:
Золотое сечение
Золотое сечение Φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.
φ = 1/Φ алгебраически можно выразить так:
Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:
Отношение √5 к Φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:
Алгебра
Кольцо Z[-5] содержит числа вида a + b√(-5), где a и b целые числа и √(-5) = i√5 — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.
Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:
Поле Q[√5] — абелево расширение рациональных чисел.
Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:
Тождества Рамануджана
Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.
Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:
Доказательство иррациональности
Докажем, что число √5 — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число √5 можно представить в виде несократимой дроби n/m, где m — целое число, а n — натуральное:
n^2 делится на 5, значит, n тоже делится на 5; следовательно, n^2 делится на 25, а значит, m и m^2 делится на 5. То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и √5 — иррациональное число.
См. также
Примечания
Ссылки