Как вычислить корень из числа 5?

Узнайте, как вычислить корень из числа 5, его округленное значение, непрерывную дробь, Вавилонский метод, золотое сечение и другие интересные факты. Расширьте свои знания в области математики и алгебры.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.

Округленное значение

Округлённое значение корня из 5 равно 2.236 и считается правильным с точностью до 0,01%. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.

Выражение в виде непрерывной дроби

Корень из 5 может быть выражен в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...].

Бесконечный вложенный радикал

Корень из 5 также может быть представлен через бесконечный вложенный радикал:

$\surd 5\; =\; \surd (20\; +\; \surd (20\; +\; \surd (20\; +\; ...)))$

Вавилонский метод

Для вычисления корня из 5 с помощью Вавилонского метода, начинают с предположительного значения r₀ = 2, а затем используют следующую формулу:

$r$_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2

Золотое сечение

Корень из 5 связан с понятием золотого сечения Φ, которое является средним арифметическим 1 и корня из 5. Алгебраическое выражение для Φ:

$\phi \; =\; 1/\Phi$

Числа Фибоначчи также могут быть выражены через корень из 5.

Алгебра

Корень из 5 присутствует в алгебре, особенно в кольце Z[-5], которое содержит числа вида a + b√(-5), где a и b - целые числа, а √(-5) = i√5 - мнимое число. Кольцо Z[-5] является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом. Также, корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы, согласно теореме Кронекера-Вебера.

Тождества Рамануджана

Корень из 5 встречается во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями. Например, в непрерывных дробях Роджерса-Рамануджана.

Доказательство иррациональности

Можно доказать, что корень из 5 является иррациональным числом. Предположим, что √5 можно представить в виде несократимой дроби n/m, где m - целое число, а n - натуральное число. Тогда n^2 делится на 5, что означает, что n также делится на 5. Следовательно, n^2 делится на 25, а значит, m и m^2 тоже делятся на 5. Это противоречит изначальному предположению о несократимости дроби. Таким образом, √5 - иррациональное число.

Изучение корня из числа 5 позволяет расширить наши знания в области математики и алгебры. Это интересное и важное понятие, которое находит применение в различных математических и научных задачах.

Ссылки:

[1] - источник

[2] - источник

[3] - источник

[4] - источник

Что нам скажет Википедия?

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Через бесконечный вложенный радикал:

√5 = √(20 + √(20 + √(20 + ...)))

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

Золотое сечение

Золотое сечение Φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.

φ = 1/Φ алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к Φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:

Алгебра

Кольцо Z[-5] содержит числа вида a + b√(-5), где a и b целые числа и √(-5) = i√5 — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле Q[√5] — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

Доказательство иррациональности

Докажем, что число √5 — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число √5 можно представить в виде несократимой дроби n/m, где m — целое число, а n — натуральное:

n^2 делится на 5, значит, n тоже делится на 5; следовательно, n^2 делится на 25, а значит, m и m^2 делится на 5. То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и √5 — иррациональное число.

См. также

Примечания

Ссылки