Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Узнайте, что такое бином Ньютона, как он помогает в вычислениях и зачем он нужен. Разберитесь с треугольником Паскаля и его использованием для вычисления биномиальных коэффициентов. Познакомьтесь с примерами и доказательством формулы бинома Ньютона. Понимание бинома Ньютона поможет вам в решении задач и понимании более сложных математических концепций.

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень. Она является одной из важных математических концепций, часто используемых в различных областях, включая информационные технологии и алгоритмы. Но несмотря на то, что многие из нас сталкивались с биномом Ньютона в школе, не всем известно, что это такое и зачем оно нужно. Давайте рассмотрим его подробнее.

Что такое треугольник Паскаля

Для того чтобы понять бином Ньютона, нам необходимо ознакомиться с понятием треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля является треугольной таблицей чисел, которую назвали в честь математика Блеза Паскаля. Этот треугольник имеет следующую структуру: в вершине треугольника находится число 1, а каждое последующее число в каждом ряду получается сложением левого и правого чисел, стоящих выше. Такой треугольник можно продолжать бесконечно.

Треугольник Паскаля обладает разными полезными свойствами в математике, однако для бинома Ньютона он используется для вычисления биномиальных коэффициентов. Теперь давайте перейдем к разбору самого бинома Ньютона.

Что такое бином Ньютона (просто)

Бином Ньютона — это формула, которая позволяет разложить сумму двух переменных в заданную степень в виде многочлена. Примеры наиболее известных биномов Ньютона включают квадрат суммы и куб суммы. Однако, для возведения суммы в произвольную степень, требуется более обобщенная формула, которая представляет все возможные варианты биномов для любой степени.

Для вычисления коэффициентов бинома Ньютона требуется вычислить факториалы, которые представляют собой произведение всех целых чисел от 1 до заданного числа. Факториалы могут потребовать большое количество оперативной памяти, поэтому вычисление коэффициентов бинома может стать проблемой, если оперативная память заканчивается.

Однако есть способ упростить вычисление бинома Ньютона с использованием треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля помогает быстро разложить бином на отдельные слагаемые, что значительно упрощает вычисления.

Примеры и доказательство

Примеры использования бинома Ньютона включают разложение суммы двух переменных в квадрате и кубе, а также в произвольную степень. Для быстрого разложения часто используют треугольник Паскаля.

Доказательство бинома Ньютона основывается на выборе соответствующих слагаемых из скобок и их последующем сложении. Коэффициенты в биноме Ньютона определяются формулой $\genfrac{}{}{0ex}{}{n!}{k!(n-k)!}$. Здесь $n$ - неотрицательное целое число, а $k$ - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Вывод бинома Ньютона был представлен Ньютоном, и он используется для разложения на отдельные слагаемые суммы двух переменных в произвольной неотрицательной степени. Формула бинома Ньютона также была известна индийским и персидским математикам, и она была распространена на комплексные числа.

Теперь, когда мы разобрались с биномом Ньютона и его свойствами, понимание его применения в различных областях становится более ясным. Бином Ньютона является одним из фундаментальных понятий математики, которое не только помогает в решении задач, но и имеет важное значение для понимания более сложных математических концепций.

Что нам скажет Википедия?

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:

где

$\genfrac{}{}{0ex}{}{n!}{k!(n-k)!}$

— биномиальные коэффициенты, $n$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Примеры:

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени $a{k}^{2}b{n}^{-}$ нужно из $k$ скобок выбрать $a$, а из оставшихся $n-k$ выбрать $b$. Вариантов выбрать $a$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть $n$. Затем, соответственно, $n-1$, и так далее до $n-k+1$ на $k$-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых $k!$. Нормируя, получаем в точности $C$ _n ^k . Ниже приводится доказательство по индукции.

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1+x)^r$ в ряд Тейлора:

где $r$ может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле.

При этом ряд

сходится при $\left|z\right|⩽1$.

В частности, при $z=\frac{1}{m}$ и $\alpha =x\cdot m$ получается тождество.

Переходя к пределу при $m\to \infty$ и используя второй замечательный предел $\lim \left(m\to \infty \right)(1+\frac{1}{m})^m=e$, выводим тождество, которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам $k+2$, сумма которых равна $n$ (то есть по всем композициям числа $n$ длины $m$). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения $x{j}_0=1$, даже если $x{j}_{}=0$.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по $m$, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При $m=2$, выражая $k{2}_{}=n-k{1}_{}$, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть $B{n}_{}\left(a{s}_{}\right)=B{n}_{}(a{1}_{},\dots ,a{n}_{})$ и $B{0}_{}=1$, тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также

Примечания

Литература

Ссылки