Биномиальные коэффициенты - это числа, которые используются для подсчета количества способов выбрать набор элементов из заданного множества без учета порядка. Они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона и имеют широкие применения в комбинаторике и теории вероятностей. Узнайте историю, определение, способы вычисления и свойства биномиальных коэффициентов. Также узнайте о применении и обобщении, алгоритмах вычисления и заключении.
Cодержание
Биномиальные коэффициенты - это числа, которые используются для подсчета количества способов выбрать набор элементов из заданного множества без учета порядка. Они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона и имеют широкие применения в комбинаторике и теории вероятностей.
![Биномиальные коэффициенты](https://fs.znanio.ru/methodology/images/f4/2f/f42fae2a5dc320d8e6fd06224e3ed1c9d17e9d66.jpg)
История и обозначения
Биномиальные коэффициенты были известны еще в древние времена. Они встречаются в индийских математических текстах, таких как "Чандамшастра Пингалы", написанного Халаюдхой в 10 веке. Однако формальное обозначение (n k) для биномиального коэффициента было введено Андреасом фон Эттингсхаузеном в 19 веке.
![Биномиальные коэффициенты. Дипломная (ВКР). Математика. 2011-10-10](https://www.bibliofond.ru/wimg/10/511008.files/image020.gif)
Определение и вычисление
Биномиальные коэффициенты (n k) определяются как количество способов выбрать k элементов из n-элементного множества. Имеются различные способы вычисления биномиальных коэффициентов:
- Аналитическая формула: (n k) = n! / (k!(n - k)!)
- Рекуррентная формула: (n k) = (n-1 k-1) + (n-1 k)
Также биномиальные коэффициенты можно вычислить с помощью треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих чисел.
См. также
Свойства биномиальных коэффициентов
Биномиальные коэффициенты обладают различными свойствами:
- Симметрия: (n k) = (n n-k)
- Делимость: (n k) делится на простое число p, если p является простым делителем n и не является делителем k
- Сумма по столбцам: сумма биномиальных коэффициентов в столбце треугольника Паскаля равна степени числа 2
![5. Биномиальные коэффициенты](https://scask.ru/php/imageBook.php?path\u003d/home/e/evroleq1/scask.ru/public_html/wp-content/uploads/2023/01/files-20.book\u0026file\u003dc_math_34.files/image5.gif)
Применение и обобщение
Биномиальные коэффициенты широко применяются в комбинаторике, теории вероятностей и других областях математики. Они также могут быть обобщены до мультиномиальных коэффициентов, которые используются для подсчета количества способов выбрать набор элементов из нескольких различных множеств.
![Бином Ньютона, треугольник Паскаля.](http://www.cleverstudents.ru/expressions/images/binomial_theorem/011.png)
Алгоритмы вычисления
Для вычисления биномиальных коэффициентов могут использоваться различные алгоритмы, такие как:
- Вычисление по аналитической формуле
- Использование рекурсии и мемоизации
- Использование треугольника Паскаля
Каждый из этих алгоритмов имеет свои преимущества и ограничения в зависимости от требуемой точности и эффективности вычислений.
См. также
Заключение
Биномиальные коэффициенты - это важный математический инструмент, который находит применение в различных областях. Они позволяют подсчитывать количество способов выбора элементов из заданного множества и имеют множество интересных свойств. Вычисление биномиальных коэффициентов может быть выполнено различными способами, включая аналитическую формулу, рекуррентную формулу и использование треугольника Паскаля.
![Бином Ньютона](https://fsd.videouroki.net/products/catalog/projects/3/algebra11fgos/images/change/slider/24.jpg)
Что нам скажет Википедия?
Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона (1 + x)^n по степеням x. Коэффициент при x^k обозначается (n k) или C_n^k и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «число сочетаний из n по k»). Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных показателей n. В случае произвольного действительного числа n биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения (1 + x)^n в бесконечный степенной ряд.
В комбинаторике биномиальный коэффициент (n k) для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть как количество всех (нестрогих) подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.
Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.
Вычисляя коэффициенты в разложении (1 + x)^n в степенной ряд, можно получить явные формулы для биномиальных коэффициентов (n k).
Для всех действительных чисел n и целых чисел k:
Формула Значение (n k) = n! / (k!(n - k)!) для 0 ≤ k ≤ n (n k) = 0 для k > n (n - 1 k - 1) + (n - 1 k) = (n k) для 0 < k < n Треугольник Паскаля позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих.
Свойства биномиальных коэффициентов также включают производящие функции, делимость, основные тождества, бином Ньютона и свертку Вандермонда.