Узнайте, что такое квадратный корень из числа и как он вычисляется. Извлечение квадратного корня и его свойства. Запись иррациональных чисел с помощью квадратных корней. Применение квадратных корней в науке и технике. Читайте на NOCFN.
Cодержание
Квадратный корень из числа a (корень 2-й степени) — число x, дающее a при возведении в квадрат:
x * x = a.
Равносильное определение: квадратный корень из числа a — решение уравнения x^2 = a.
Операция вычисления значения квадратного корня из числа a называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.
Квадратный корень и его свойства
Наиболее часто под x и a подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения для комплексных чисел и других математических объектов, например, матриц и операторов.
У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются +3 и -3, у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при a ⩾ 0 всегда неотрицательно (а на положительных a — положительно); арифметический корень из числа a обозначается с помощью знака корня (радикала): √a.
Например, корень из числа 16 равен 4, потому что 4 * 4 = 16. Это затрудняет работу с корнями. Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Квадратный корень из числа и арифметическое квадратное уравнение - это два различных понятия.
Из определения квадратного корня следует, что если возведенное в квадрат число равно a, тогда корень из a равен b, то есть a = b^2. Корень из числа всегда положителен.
В то же время, арифметическое квадратное уравнение имеет вид x^2 = a, и его решениями могут быть как положительные, так и отрицательные числа.
См. также
Запись иррациональных чисел с помощью квадратных корней
Иррациональное число - это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Часто иррациональные числа записываются в виде корней.
Например, корень из числа 2 (√2) является иррациональным числом, так как его нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Также корень из числа 5 (√5) является иррациональным числом.
Используя квадратные корни, можно записывать иррациональные числа и упрощать их запись.
Выводы
Квадратный корень из числа является таким числом, при возведении в квадрат которого получается исходное число. Он может быть положительным или отрицательным, но обычно подразумевается положительный корень.
Использование квадратных корней позволяет работать с иррациональными числами и упрощать их запись.
Несмотря на различные свойства и определения, квадратные корни являются важным элементом математики и находят применение в различных областях науки и техники.
Что нам скажет Википедия?
Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при a ⩾ 0 всегда неотрицательно (а на положительных a — положительно); арифметический корень из числа a обозначается с помощью знака корня (радикала): √a.
К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).
Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях.
