Мозаика Пенроуза

Мозаика Пенроуза - уникальные непериодические замощения, которые были исследованы Роджером Пенроузом в 1970-х годах. Эти мозаики, состоящие из геометрических фигур, способны заполнять бесконечную плоскость без пропусков и повторений. Узнайте об истории, разработке и применении мозаики Пенроуза в математике, кристаллографии, архитектуре и дизайне. Открытие Пенроуза имело значительное влияние на понимание структуры природы и открытие квазикристаллов.

Введение

Мозаика Пенроуза (плитки Пенроуза) - общее название трех особых типов непериодического разбиения плоскости, названных в честь английского математика Роджера Пенроуза. Эти типы мозаики были исследованы Пенроузом в 1970-х годах и представляют собой особенные комбинации геометрических фигур, которые могут замостить бесконечную плоскость без пропусков и повторений.

История

Исследование периодических и апериодических замощений играло важную роль в развитии математики и кристаллографии. Замощение - это способ покрытия плоскости плитками без пропусков и наложения плиток друг на друга. Плитки могут иметь различные формы, называемые протоплитками.

Периодическое замощение характеризуется наличием двухпараметрического семейства параллельных переносов, с помощью которого можно совмещать замощение с собой. Апериодическое замощение, напротив, не имеет такого семейства переносов и является непериодическим.

В 1960-х годах логик Хао Ван рассмотрел проблему замощения плоскости квадратами с раскрашенными ребрами, известными как плитки Вана. Он предположил, что существует алгоритмическое решение проблемы замощения, однако его студент Роберт Бергер показал, что проблема алгоритмически неразрешима. Бергер также построил апериодический набор плиток Вана, состоящий из 20,426 плиток, а впоследствии были найдены наборы из меньшего числа плиток.

Разработка мозаик Пенроуза

В 1973 году Роджер Пенроуз создал набор плиток, известный как мозаика Пенроуза. Этот набор мозаик состоит из геометрических фигур, которые могут заполнять бесконечную плоскость без пропусков и повторений. Первый тип замощения Пенроуза (P1) состоит из шести протоплиток, основанных на правильном пятиугольнике. Основываясь на идеях, высказанных Иоганном Кеплером, Пенроуз смог найти формы плиток и правила их сочетаний, которые гарантировали апериодичность набора.

Впоследствии Пенроуз сумел сократить количество протоплиток до двух, получив еще два типа мозаики Пенроуза: из дельтоидов (P2) и из ромбов (P3). Мозаика Пенроуза из дельтоидов (P2) состоит из плиток двух типов - выпуклого дельтоида и вогнутого дельтоида. Правила сочетаний плиток предотвращают использование их для периодического замощения. Третий тип мозаики Пенроуза (P3) также состоит из плиток двух типов - оба из которых имеют форму ромба. Набор P3 также допускает непериодическое замощение и был независимо открыт Робертом Амманном.

Применение мозаики Пенроуза

Мозаика Пенроуза имеет широкий спектр применений и находит применение в различных областях, включая математику, кристаллографию, архитектуру и дизайн. Эти непериодические замощения представляют собой уникальные и красивые узоры, которые вдохновляют художников и дизайнеров.

Важным открытием, связанным с мозаикой Пенроуза, стало обнаружение квазикристаллов в 1984 году израильским физиком Дэном Шехтманом. Квазикристаллы являются материалами с апериодическим упорядочением атомов, что противоречило устоявшимся представлениям о кристаллической структуре. Мозаика Пенроуза оказалась математической моделью для объяснения уникальной структуры квазикристаллов.

Сегодня мозаика Пенроуза исследуется и применяется в различных научных и технических областях, способствуя развитию новых материалов и структур. Ее геометрическая сложность и непериодичность оказывают влияние на разработку оптических материалов, кристаллов, компьютерных алгоритмов и других технологий.

Заключение

Мозаика Пенроуза представляет собой уникальные непериодические замощения, которые были исследованы Роджером Пенроузом в 1970-х годах. Эти мозаики, состоящие из геометрических фигур, способны заполнять бесконечную плоскость без пропусков и повторений. Мозаика Пенроуза нашла применение в различных областях, включая математику, кристаллографию, архитектуру и дизайн, а также в разработке новых материалов и технологий. Это открытие Пенроуза имело значительное влияние на понимание структуры природы и открытие квазикристаллов.

Что нам скажет Википедия?

Мозаика Пенроуза (плитки Пенроуза) — общее название трёх особых типов непериодического разбиения плоскости; названы по имени английского математика Роджера Пенроуза, исследовавшего их в 1970-е годы.

Первый тип замощения Пенроуза (P1) также состоит из шести протоплиток, но они основаны не на квадрате, а на правильном пятиугольнике. Основываясь на идеях, высказанных Иоганном Кеплером в труде Harmonices Mundi, он сумел найти формы плиток и правила сочетаний, которые гарантировали апериодичность набора.

Впоследствии Пенроуз сумел сократить количество протоплиток до двух, получив ещё два типа мозаики Пенроуза: из дельтоидов (P2) и из ромбов (P3).

Мозаика Пенроуза из дельтоидов (P2) строится из плиток двух типов: выпуклого дельтоида («змея») и вогнутого дельтоида («дротика»). Правила сочетаний предотвращают использование плиток для периодического замощения.

Третий тип мозаики Пенроуза (P3) также строится из плиток двух типов, оба из которых имеют форму ромба. Набор П3 тоже допускает непериодическое замощение и был независимо открыт Робертом Амманном.