Узнайте, что означает высота треугольника и как она может быть определена для разных типов треугольников. Узнайте основные свойства высот треугольника.
Cодержание
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.
Удобное обозначение высот треугольника
Для удобного обозначения высот треугольника используют следующую нотацию. Если A, B, C - вершины треугольника, а a = BC, b = AC, c = AB - длины сторон (или просто стороны), то ha, hb, hc - высоты, опущенные соответственно из вершин A, B, C на стороны a, b, c (или их продолжения).
Свойства высот треугольника
Свойства ортоцентра
Свойства, связанные с описанной окружностью
Свойства высот равнобедренного треугольника
Свойства высот равностороннего треугольника
Свойства высот произвольного треугольника
Свойства оснований высот треугольника
Свойства середин высот треугольника
Другие свойства
Свойства минимальной из высот
Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами.
Соотношения
Теорема о произвольной точке внутри треугольника
Теорема о произвольной точке внутри треугольника гласит, что если pa, pb и pc - расстояния (перпендикулярные отрезки) от любой точки P треугольника до трех его сторон, а ha, hb и hc - длины высот, опущенных на соответствующие стороны (a, b и c), то [8]
Следствие теоремы
Если точка P есть инцентр данного треугольника, то pa = pb = pc = r. Тогда из последней теоремы имеем:
Теорема о трех произвольных чевианах внутри треугольника, одна из которых является высотой
Теорема. Если две произвольные чевианы (не обязательно две высоты) внутри остроугольного треугольника пересекаются в точке третьей чевианы, являющейся высотой этого треугольника, тогда сама высота является биссектрисой угла, образованного отрезками, составляющими другие две чевианы.
См. также
Как найти высоту треугольника?
Существуют три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
1. Через теорему Пифагора
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников.
Пример для равнобедренного треугольника
Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.
Найдем высоту по теореме Пифагора: BD = √(BC^2 - HC^2) = √(25-16) = 3
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
2. Через площадь треугольника
Этот способ можно применять для любого треугольника. Чтобы воспользоваться им, необходимо знать значение площади треугольника и сторону, к которой проведена высота.
Формула площади треугольника: S = (1/2) * b * h, где b – это сторона треугольника, а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:
h = (2 * S) / b
3. Через теорему о синусах
Этот способ применяется для произвольного треугольника. Воспользуемся формулой:
h = b * sin(A)
где h - высота, b - сторона треугольника, А - угол, противолежащий этой стороне.
В данной публикации мы рассмотрели определение высоты треугольника, продемонстрировали, как высота выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислили ее основные свойства.
