Как найти определённый интеграл?

Определённый интеграл — это число, получаемое при вычислении площади под кривой графика функции на заданном отрезке. Для вычисления определённого интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:

∫_a^b f(x) dx = F(x) |_a^b = F(b) − F(a)

Здесь a и b — нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, а F(x) — первообразная функции f(x).

Для вычисления определённого интеграла необходимо знать функцию f(x) и границы отрезка интегрирования [a, b].

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то её первообразная F(x) также будет непрерывной на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла:

• Определённый интеграл можно почленно интегрировать:

∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

• Определённый интеграл с переменным верхним пределом:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) — её первообразная, то определённый интеграл ∫_a^t f(x) dx является функцией верхнего предела t:

∫_a^t f(x) dx = F(t) − F(a)

Для вычисления определённого интеграла можно использовать различные методы, такие как метод замены переменной, метод интегрирования по частям, метод дробно-рациональных функций и другие. Эти методы позволяют находить первообразные функций и используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислять определённые интегралы.

Интегралы являются важным понятием в математике и широко применяются в различных областях, таких как физика, экономика, теория вероятностей и другие.